-
Défintion
\(\triangleright\) Définition des lignes de niveau
Soit \(f :\Bbb R^2 \longrightarrow \Bbb R\) et \(a\) un nombre réel. On appelle ligne de niveau \(a\) de la fonction \(f\) l'ensemble des points \((x,y)\) du plan \(\Bbb R^2\) pour lesquels \(f\) prend la valeur a: $$L_a= \{(x,y)\in \Bbb R^2|f(x,y)=a\}$$
Remarque
\(\triangleright\) Tangentes aux lignes de niveau
Soit \(F:\Bbb R^2\to \Bbb R\)
La ligne de niveau \(f(x,y)=k\) avec \(k\in \Bbb R\)
Le Gradient de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est orthogonal à la ligne de niveau passant par \((x_0,y_0)\).
Par conséquent, l'équation de la tangente en \((x_0,y_0)\) à la ligne de niveau est:
$${{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)=0}}$$
A condition que: \(\vec{grad}(f)\neq 0\)
Notion liée
Courbes de niveau
